3. Financijska matematika – 3.1. Kako postati dobar kamatar?


3.1. Kako postati dobar kamatar?

U financijama i bankarstvu kamate imaju različite i vrlo važne funkcije – poticaj na štednju, regulator ponude i potražnje novca, izvor prihoda investicijskih fondova.

Naknada koju dužnik mora platiti vjerovniku zato što mu ovaj ustupio na određeno vrijeme pravo raspolaganja nekom glavnicom (iznosom novca ili dobrom) naziva se glavnica.

Kamate se uvijek računaju na određeno vrijeme koje nazivamo vrijeme trajanja ukamaćivanja i ono se određuje ugovorom.

Iznos kamata koji se plaća na iznos od sto posuđenih novčanih jedinica za neki vremenski interval naziva se kamatna stopa ili kamatnjak.

 Načini ukamaćivanja

Ukamaćivanje može biti – dekurzivno i anticipativno.

Kod dekurzivnog načina obračuna kamata, kamate se obračunavaju na kraju razdoblja ukamaćivanja na glavnicu s početka tog razdoblja.

1

Kod anticipativnog obračuna kamata, kamate se obračunavaju na početku razdoblja ukamaćivanja na glavnicu s kraja tog razdoblja.

2

Kod ukamaćivanja zajmodavac može primijeniti jednostavan ili složen način obračuna kamata.

Jednostavne kamate se obračunavaju od iste (nepromjenjive) glavnice.

Složene kamate se obračunavaju od promjenjive glavnice.

Jednostavne kamate se primjenjuju kod kratkoročnih poslova (do 5 godina), a složene kamate se primjenjuju kod dugoročnih poslova.

Jednostavni kamatni račun

Jednostavni i dekurzivni obračun kamata

U jednostavnom kamatnom računu rabe se sljedeće oznake:

C(Co)- glavnica, početna vrijednost,

n – broj godina,

p – godišnja dekurzivna kamatna stopa,

Kk- jednostavne kamate na kraju k – te godine uz dekurzivni obračun kamata,

K – ukupne jednostavne kamate,

Cn- konačna (buduća) vrijednost glavnice nakon n – godina

 

Za izračun iznosa ukupnih kamata rabimo formulu:

3

Ako je vrijeme izraženo u mjesecima kamate iznose 4

Ako je vrijeme izraženo u danima kamate iznose 5

Konačna glavnica jednaka je Cn = C + k

Primjer 1. Glavnica od 16 250,00 kn uložen je na 4 godine uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu od 6, 8. Kolike će biti ukupne kamate, te kolikim ćemo iznosom raspolagati na kraju četvrte godine?

 

Rješenje:

6

Primjer 2. Kolika je kamatna stopa ako se iznos glavnice s 13 000,00 kn tijekom 6 godina povećao na iznos od 17 780,00 kn?

 

Rješenje:

7

Jednostavni i anticipativni obračun kamata

U jednostavnom kamatnom računu uz anticipativni način obračun kamata koriste se oznake:

– glavnica, početna vrijednost,

n – broj godina,

q – godišnja anticipativna kamatna stopa,

– Kk – jednostavne kamate na kraju k – te godine uz anticipativni obračun kamata,

K – ukupne jednostavne kamate uz anticipativan obračun kamata,

– Cn –  konačna vrijednost glavnice nakon n – godina

 

Kod anticipativnog obračuna kamate se računaju na početku otplatnog razdoblja i to na glavnicu s kraja tog razdoblja, dakle, formula za izračun kamata kod anticipativnog obračuna je:

8

Uvrstimo li izraz za kamate u izraz za glavnicu nakon n – godina dobivamo:

9

Primjer 3. Petra je uložila 17 000,00 kn na 5 godina uz anticipativnu godišnju kamatnu stopu 5,7. Odredite iznos ukupnih kamata na kraju pete godine ako je obračun kamata jednostavan i anticipativan.

 

Rješenje:

10

Primjer 4. Osoba će danas posuditi 50 000,00 kn na 6 godina uz uvjet da na ime jednostavnih kamata plati 10 567,89 kn. Ako je dogovoren anticipativni način obračuna kamata, uz koliki je godišnji kamatnjak posudba izvršena?

 

Rješenje:

11

Složeni kamatni račun

Složene kamate su kamate koje se obračunavaju na glavnicu, koja je različita (promjenjiva) za svako razdoblje ukamaćivanja.

U složenom kamatnom računu, uz dekurzivan način obračuna kamata, rabe se oznake za slijedeće veličine:

– C0 – glavnica, početna vrijednost,

n – broj godina,

p – godišnja dekurzivna kamatna stopa,

– Kk -složene kamate na kraju k – te godine uz anticipativni obračun kamata,

K – ukupne složene kamate uz anticipativan obračun kamata,

– Cn – konačna, tj. buduća vrijednost glavnice nakon n – godina

12

Konačna vrijednost glavnice:

13

Primjer 5. Kolika će biti vrijednost uloga od 43 000, 00 kn uloženog na 15 godina uz godišnju kamatnu stopu 4,5? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Kolike su ukupne složene kamate?

Rj. 40 217,15 kn

 

Primjer 6. Poduzetnik mora platiti dugovanja u iznosu 135 000, 00 kn krajem druge godine i

67 000, 00 kn krajem pete godine. S kojim iznosom bi se poduzetnik oslobodio dugova na kraju osme godine, ako je godišnja kamatna stopa 7,5? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

Rj.C_8=135000∙1,075^6 + 67000∙1,075³=291579,60 

Primjer 7. Marija je danas uložila u banku 10 000, 00 kn. Na kraju treće godine podigla je iznos od 3 500, 00 kn. Koliko joj je ostalo na štednom računu na kraju šeste godine, ako je godišnja kamatna stopa 4,7? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

Rj. 9 155,80 kn

Početna vrijednost glavnice:

Ako je zadana konačna vrijednost, iz zadanih formula možemo odrediti početnu vrijednost glavnice

14

Primjer 8. Koliki iznos trebamo uložiti u banku danas, da bismo nakon deset godina uz godišnju kamatnu stopu od 3,6 mogli raspolagati iznosom od 30 000, 00 kn? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

15

Primjer 9. Koliki iznos je potrebno oročiti u banci danas, da bi smo na kraju osme godine mogli raspolagati iznosom od 20 000, 00 kn? Banka za prvih pet godina obračunava godišnju kamatnu stopu 7, a za preostale tri godine 7, 9. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivni.

 

Rješenje:

screenshot-at-oct-07-13-46-57

Nominalna, relativna i komforna kamatna stopa

U svim primjerima do sada bila je zadana godišnja kamatna stopa i ukamaćivanje je bilo godišnje. Odnosno, kamata se obračunavala jednom godišnje. U praksi to ipak bude rijedak slučaj. Često nam bude zadana godišnja kamatna stopa, no, ukamaćivanje, odnosno obračun kamata ne bude jednom godišnje, već recimo mjesečni obračun kamata na dozvoljeni minus na tekućem računu.

Nominalna kamatna stopa naziva se poznata kamatna stopa za određeni vremenski interval.

Ukoliko su vremenski periodi nominalne kamatne stope i ukamaćivanja različiti tada je potrebno te periode usuglasiti. Zbog toga se javlja potreba i za različitim načinima obračuna kamata pa razlikujemo relativnu i komfornu kamatnu stopu.

Prije samog obračuna kamata treba usuglasiti broj ukamaćivanja u odnosu na vremensko razdoblje nominalne kamatne stope. Neka je m traženi broj ukamaćivanja. Vrijedi: m = d1/d

Pri čemu je duljina vremenskog intervaka nominalne kamatne stope, a je duljina vremenskog intervala u kojem se odvija ukamaćivanje.

Relativna kamatna stopa

Iznos relativne kamatne stope računamo po formuli  pr = p/m. Pri čemu je p iznos nominalne kamatne stope, a m broj ukamaćivanja.

screenshot-at-oct-07-14-12-57

Komforna kamatna stopa

Iznos komforne kamatne stope računamo po formuli 18

19

Napomena: Ako u zadatku nije napomenuto koja se kamatna stopa upotrebljava, onda se koristi komforna kamatna stopa.

Zadatak 1. Marta je podigla kredit od 15 000 kn. Rok otplate je 3 godine uz godišnju kamatnu stopu 5%. Odredite koliko će Marta ukupno vratiti banci ako je obračun kamata godišnji.

Zadatak 2. Marta je podigla kredit od 15 000 kn. Rok otplate je 3 godine uz godišnju kamatnu stopu 5%. Odredite koliko će Marta ukupno vratiti banci ako je obračun kamata mjesečni. Banka obračunava komfornu kamatnu stopu.

Zadatak 3. Marta je podigla kredit od 15 000 kn. Rok otplate je 3 godine uz godišnju kamatnu stopu 5%. Odredite koliko će Marta ukupno vratiti banci ako je obračun kamata mjesečni. Banka obračunava relativnu kamatnu stopu.

Razmislite:

Koji je obračun kamata (komforni ili relativni) povoljniji za nas kad podižemo kredit, a koji kad otvaramo štednju?

Istražite:

Koji obračun kamata koriste banke čije usluge koriste građani Republike Hrvatske?