3.2. Možemo li se pametno zadužiti?


Prenumerando i postnumerando periodične uplate (isplate)

Svaki novčani iznos koji se periodički uplaćuje (isplaćuje), a provodi se unutar zadanog (određenog, ugovorenog) vremenskog razdoblja naziva se višekratnom uplatom (isplatom).

 

Razlikujemo

  • periodične uplate/isplate nepromjenjivog ili promjenjivog novčanog iznosa
  • uplate/isplate koje se mogu uplaćivati/isplaćivati na početku ili na kraju vremenski ugovorenog razdoblja

 

Periodične uplate ili isplate prema roku dospijeća dijelimo na uplate (isplate) koje dospijevaju ravnomjerno u jednakim vremenskim razdobljima:

  • početkom vremenskog razdoblja ili prenumerando
  • krajem vremenskog razdoblja ili postnumerando

  Konačna vrijednost prenumerando periodičnih uplata (isplata)

Kolika je konačna vrijednost n godišnjih prenumerando uplata (isplata) R na kraju n – te godine uz godišnju kamatnu stopu p, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan?

– predočimo problem grafički

20

  • Označimo 23  konačnu vrijednost n godišnjih prenumerando uplata (isplata)
  • dobivamo sumu n članova geometrijskog niza
  • 21
  • pri čemu je R iznos uplate (isplate), a r je dekurzivni kamatni faktor

Primjer 1. Tijekom 15 godina početkom svake godine ulažemo u banku iznos od po 3 000, 00 kn. Kolikim ćemo iznosom raspolagati na kraju petnaeste godine ako banka primjenjuje godišnju kamatnu stopu 6,3? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

22

Konačna vrijednost postnumerando periodičnih uplata (isplata)

– odredimo konačnu vrijednost n godišnjih postnumerando uplata (isplata) R na kraju n – te godine uz godišnju kamatnu stopu p, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan

– predočimo postavljeni problem grafički

označimo s 23 konačnu vrijednost n godišnjih postnumerando uplata (isplata)

24

– dobivamo sumu n članova geometrijskog niza

25

– pri čemu je R iznos uplate (isplate), a r je dekurzivni kamatni faktor

Primjer 2. Kolike je jednake iznose potrebno uplaćivati u banku krajem svake godine, tijekom pet godina da bi se na kraju pete godine moglo podići zajedno s kamatama 4 500,00 kn. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Banka obračunava godišnju kamatnu stopu 9.

Rješenje:

– potrebno je odrediti iznos uplate, odnosno rate R

– uvrštavanjem poznatih veličina u opću formulu i nizom računskih operacija odrediti ćemo R

26

Početna vrijednost prenumerando periodičnih uplata (isplata)

Kolika je vrijednost n uplata (isplata) koje dospijevaju početkom svake godine tijekom n godina uz godišnju kamatnu stopu p? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

– prikažimo to grafički

32

Primjer 3. Kojim bi iznosom neka tvrtka mogla podmiriti svoje dugovanje danas, ako je to dugovanje trebala podmiriti jednakim iznosima od po 7 800, 00 kn početkom svake godine tijekom 5 godina, računajući od danas. Banka primjenjuje godišnju kamatnu stopu 6. Obračun kamata je složen, dekurzivan i godišnji.

28

Primjer 4. Marko prodaje stan. Razmišlja o dvije ponude koje je dobio. Pomozimo Marku u odluci koja je ponuda bolja.

Kupac A nudi: 35 000, 00 odmah i 15 000, 00 plativo za tri godine od danas.

Kupac B nudi: pet jednakih isplata od po 13 000, 00 na početku svake godine, ali tako da se prva isplata izvrši 3 godine nakon zaključenog ugovora.

Koja ponuda je povoljnija ako bi u oba slučaja bila primijenjena godišnja kamatna stopa 7? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

 

Rješenje:

Da bismo mogli uspoređivati ponude, moramo ih svesti na isto vrijeme. Možemo određivati kolike bi ponude bile danas ili na kraju osme godine (zbog toga što bi kupac B isplatio stroj za osam godina). Mi ćemo svesti na današnju ponudu.

Uvijek ovakve zadatke rješavajte računajući današnju ponudu.

 

Ponuda A:

– ovih 15 000 promatramo kao iznos konačne glavnice nakon 3 godine i tražimo njezinu početnu (današnju) vrijednost koju ćemo pridodati iznosu od 35 000 koje plaćamo odmah

29

Ponuda B:

– odredimo početnu vrijednost na početku treće godine prenumerando periodičnih uplata od po 13 000 tijekom 5 godina, iznos

biti će iznos na kraju treće godine i tražimo onda njenu početnu (današnju) vrijednost

30

Primjer 5. Koji je iznos štediša morao uložiti danas na štedni račun, ako je želio tijekom 4 godine, početkom svake godine, računajući od danas, podizati jednake iznose od po 2 500, 00 kn, s tim da na kraju osme godine ostane iznos od 1 500, 00 kn? Godišnja kamatna stopa je 5,3. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

 

Rješenje:

– moramo izračunati početnu vrijednost periodičnih prenumeradno uplata tijekom 4 godine i početnu vrijednost glavnice koja nakon 8 godina iznosi 1 500 kn, zbroj tih iznosa biti će traženi iznos.

31

Početna vrijednost postnumerando periodičnih uplata (isplata)

Kolika je početna vrijednost svih n uplata (isplata) koje dospijevaju krajem svake godine kroz n godina uz godišnju kamatnu stopu p? Obračun kamata je složen, dekurzivan i godišnji. Problem prikažimo grafički.

32

Primjer 6. Kojim bi iznosom neka tvrtka mogla danas podmiriti svoje dugovanje ako je to dugovanje trebala otplaćivati tijekom 7 godina, računajući od danas, iznosima od po 13 000,00 kn krajem svake godine. Banka primjenjuje godišnju kamatnu stopu 8,2. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

33

Zadatak 1. Početkom svakog mjeseca kroz deset godina ulažemo u banku po 175,00 kn da bismo od kraja trinaeste godine šest puta mogli podići jednake godišnje iznose. Koliki će biti ti godišnji iznosi? Godišnja kamatna stopa je 5,3. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

 

Zadatak 2. Tomislav prodaje svoj automobil. Dobio je dvije ponude svojih prijatelja.

Petar nudi: 35 000, 00 kn odmah i 18 000, 00 kn plativo za četri godine od danas.

Marko nudi: pet jednakih isplata od po 11 500, 00 kn na kraju svake godine, ali tako da se prva isplata izvrši 3 godine nakon zaključenog ugovora.

Koja ponuda je Tomislavu isplativija ako bi u oba slučaja bila primijenjena godišnja kamatna stopa 6,1? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

Zajmovi

Poseban imovinsko pravni odnos između:

           davatelja zajma (kreditna ustanova) i

           korisnika zajma (pravni – ustanova ili fizička osoba – pojedinac)

koji se temelji na ugovoru naziva se zajam.

 

Ugovor o zajmu mora sadržavati:

– iznos zajma, kamatnu stopu za redovnu i zateznu kamatu, mjere osiguranja od djelovanja inflacije, način obračuna kamata, način otplate zajma, kad će i na koji način davatelj zajma izvršiti svoju obvezu

 

Zajmove razlikujemo po:

– načinu otplate (kratkoročni i dugoročni)

– periodičkim iznosima prenumerando ili postnumeradno, te periodičke iznose nazivamo anuiteti (lat. annus – godišnji; godišnji obrok otplate)

– jednakim ili različitim anuitetima (u kombinaciji s jednakim ili različitim otplatnim kvotama)

 

Anuiteti se sastoje od dva dijela:

– dijela kojim se otplaćuje zajam, tj. glavnica (otplatna ili amortizaciona kvota)

– dijela kojim se plaća naknada za korištenje ustupljenih financijskih sredstava (složenih kamata)

 

Oznake:

  • anuiteti a
  • otplatne kvote R
  • kamata K

Pregled otplaćivanja zajma daje se u otplatnoj tablici.

– u otplatnoj tablici mora vrijediti:

  1. Zbroj svih otplatnih kvota jednak je iznosu zajma;
  2. Zbroj svih anuiteta jednak je zbroju ukupnih kamata i zbroju otplatnih kvota

 

Otplata zajma u jednakim anuitetima

Razmatramo slučaj dugoročnih zajmova uz sljedeće pretpostavke:

  1. obračun kamata je složen, dekurzivan
  2. anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim razmacima, na kraju razdoblja

(postnumeradno anuiteti)

  1. razdoblje ukamaćivanja podijeljeno je u jednake vremenske jedinice dospijeća plaćanja anuiteta
  2. kamatna stopa je konstantna tijekom cijelog razdoblja otplate zajma

 

– iznos zajma nije ništa drugo već početna vrijednost periodičkih postnumerando isplata

  • prisjetimo se last
  • uvedemo li oznake 35   dobivamo iznos zajma:

36

– uobičajeno je da je poznat iznos zajma C0, a potrebno je izračunati iznos anuiteta a

– iz izraza za iznos zajma dobivamo ćemo će biti jednak iznos anuiteta ako je poznat iznos zajma

37

Zadatak 3. Zajam od 250 000,00 kn odobren je na šest godina, uz godišnju kamatnu stopu 9,4 i plaćanjem jednakih anuiteta krajem godine. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Izračunajte anuitet i ukupne kamate.

 

Otplatne tablice

Primjer 7. Zajam od 180 000,00 kn odobren je na 5 godina, uz godišnju kamatnu stopu 5 i plaćanje jednakih anuiteta krajem godine. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Sačinite otplatnu tablicu.

 

Rješenje:

– otplatna tablica mora sačinjavati kamatu koja se odnosi na glavnicu s kraja k – 1 (prošle) godine Kk, otplatnu kvotu Rk za tekuće razdoblje i ostatak duga Ck

– formule koje rabimo za određivanje traženih veličina.

38

Otplata zajma u jednakim otplatnim kvotama

Pretpostavke ovakvog modela vraćanja zajma su:

– otplatne kvote su jednake

– anuiteti dospijevaju u jednakim vremenskim jedinicama, krajem razdoblja

– razdoblje ukamaćivanja podijeljeno je u jednake vremenske jedinice dospijeća plaćanja anuiteta

– kamatna stopa je jednaka tijekom cijelog razdoblja otplate zajma

 

– iznos zajma označavamo s Co, iznos tog zajma potrebno je kroz n godina otplatiti u jednakim otplatnim kvotama R, zaključujemo da je iznos otplatnih kvota jednak R = Co/n

 

Primjer 8. Banka odobrava zajam od 80 000,00 kn na 5 godina, uz godišnju kamatnu stopu 6. Banka odobrava vraćanje zajma u promjenjivim anuitetima u kojima su otplatne kvote konstantne. Obračun kamata je složen godišnji i dekurzivan. Sačinite tablicu otplate zajma.

39