1. Kombinatorika i vjerojatnost


1. 1. Brojenje bez brojenja

Uvodni zadatak:

“Na koliko načina možete među sobom podijeliti tri dobivena poklona?”

Rješenje:

Neki kombinatorni problemi mogu se lagano riješiti bez poznavanja ijednog kombinatornog pojma. Za rješenje možemo koristiti crtanje stabla. Od polazne točke idemo nadesno svim mogućim putovima do završnih točaka, kao što je prikazano na slici 1.

screenshot-at-oct-06-12-43-57

Sada izbrojimo sve dobivene putove od početne do završnih točaka. Tako dobijemo 6 mogućih razdioba tih poklona na troje učenika.

Zadatak 1. Igrate dvije partije šaha. U svakoj partiji postoje tri moguća ishoda: pobjeda prvoga igrača, neriješeno i pobjeda drugoga igrača. Na koliko se različitih načina može odvijati meč?

Zadatak 2. Igrate teniski meč. Pobjednik je onaj koji prvi dobije 2 seta. Na koliko se načina može odvijati meč?

Zadatak 3. Igrate stolni nogomet. Pobjednik je onaj koji dobije 2 igre uzastopno ili 3 ukupno. Na koliko se načina može odvijati meč?

Rješenja mnogih kombinatoričkih problema utemeljena su na sljedećim načelima prebrojavanja:

  • Načelo jednakosti: Ako svakom   a ∈ A možemo pridružiti točno jedan  b ∈ B i to tako da nijedan b ∈ B  ne ostane nepridružen, onda je  k(A)=k(B) tj. skupovi  A i  B su jednakobrojni.
  • Načelo zbroja: Ako je skup  S unija disjunktnih skupova  A i B onda je k(S)=k(A∪B)=k(A)+k(B)
  • Načelo umnoška: Neka je za provedbu neke zadaće potrebno provesti dva izbora. Za prvi izbor imamo k1 različitih mogućnosti, a za drugi  k2 različitih mogućnosti. Onda za provedbu te zadaće imamo ukupno  k1-k2 različitih mogućnosti.

Primjer:

Na jednoj je polici 10 različitih zbirki zadataka, 7 različitih udžbenika i 12 različitih popularno-matematičkih knjiga.

a) Na koliko načina možemo odabrati zbirku zadataka ili udžbenik?

b) Na koliko načina možemo odabrati jednu zbirku zadataka i jedan udžbenik?

Rješenje:

Označimo skup zbirki zadataka sa Z, a skup udžbenika s U.

a) k(Z∪U)=k(Z)+k(U)=10+7=17

b) Za svaki od 10 izbora zbirke zadataka imamo 7 izbora udžbenika pa je prema načelu umnoška ukupan broj načina 10 * 7 = 70.

Zadatak 4. Bacamo istodobno dvije igraće kocke. Na koliko se različitih načina može dobiti zbroj koji je djeljiv brojem 6?

Zadatak 5. U nekoj školi najbolji opći uspjeh postigle su tri učenice i pet učenika. Na koliko je različitih načina moguće izabrati, među njima, jednu učenicu generacije i jednog učenika generacije?

Zadatak 6. U jednom sportskom razredu 8 učenika trenira tenis, a 12 nogomet.  Dvoje učenika trenira oba sporta. Koliko je učenika u tom razredu?

Zadatak 7. Lokot ima šifranik s četiri koluta s po 6 znamenaka (0, 1, 2, 3, 4, 5). Koliko četveroznamenkastih šifri možemo na tom lokotu složiti:

a) ako se nijedna od znamenaka ne javlja više od jednom

b) ako se znamenke mogu ponavljati

c)  ako broj mora biti paran, a znamenke se mogu ponavljati (na prvom mjestu ne može biti 0)?

U Zadatku 7. a) izračunali smo zapravo broj permutacija bez ponavljanja duljine 4 od 6 elemenata.

Općenito:

  • Neka je  skup od  elemenata. Ukupan broj svih nizova  (a_1,…,a_k) različitih elemenata iz skupa  A duljine k iznosi n(n-1)(n-2)⋯(n-k+1) . Kako se elementi unutar niza ne mogu ponavljati, k ne može biti veći od n. Takve nizove zovemo permutacijama bez ponavljanja duljine  k od  n elemenata.

Permutacije bez ponavljanja duljine  n od n elemenata kraće zovemo permutacije od n elemenata.

  • Broj permutacija od  n elemenata iznosi n!.

Umnožak prvih  n prirodnih brojeva označava se s n! i čita „n faktorijela“:

  • 0!=1
  • n!=1⋅2⋅…⋅(n-1)⋅n,n≥1

Većina znanstvenih kalkulatora ima funkciju  n! za računanje faktorijela. Provjerite i isprobajte. Koji je najveći  n za koji se na tvom kalkulatoru može izračunati n faktorijela?

U Zadatku 7. b) izračunali smo zapravo broj permutacija s ponavljanjem duljine 4 od 6 elemenata. Općenito:

  • Neka je A skup od n elemenata. Ukupan broj svih nizova  (a_1,…,a_k) elemenata iz skupa  A duljine  k iznosi .

Elementi se unutar niza mogu ponavljati i  k može biti veći od n. Takve nizove zovemo permutacijama s ponavljanjem duljine  k od n elemenata.

Zadatak 8. Lokot se sastoji od 4 ista zupčanika i želimo imati više od milijun načina odabira šifre. Koliko znakova treba biti na svakom zupčaniku?

Zadatak 9. Svatko iz grupe od 4 prijatelja baca jedan novčić i zapiše P (pismo) ili G (glava), ovisno o tome što se pojavi. Koliko ishoda ima ovaj pokus?

Zadatak 10. Na koliko načina 4 učenika mogu sjesti na jednu klupu jedno pored drugoga?

Zadatak 11. Na koliko načina 4 učenika mogu sjesti za okrugli stol s 4 stolice (razmještaji osoba identični su ako se rotacijom mogu poklopiti).

Zadatak 12. Na koliko načina 2 učenika i 2 učenice mogu sjesti na jednu klupu jedno pored drugoga, ako razlikujemo samo spol.

  • Ako između  n elemenata koje permutiramo ima k1 elemenata jedne vrste,  k2 elemenata druge vrste, …k_r,  elemenata -te vrste[P1]  onda broj permutacija tog skupa iznosi screenshot-at-oct-06-13-27-29.

Zadatak 13. Koliko se Morseovih znakova može formirati od osnovnih znakova?

PRILOG 1 – MORSEOV KOD

Morseov kod ili abeceda je metoda prenošenja informacija koristeći standardizirane sekvence kratkih i dugih oznaka ili pulseva(najčešće korištene crtice i točkice). Pulsevi se služe kao oznake za slova, brojeve, interpunkcijske i ostale specijalne znakove. Originalno kreiran za potrebe električnog telegrafa sredinom 1830-tih, također je korišten za ranu radio komunikaciju. Razvojem komunikacijske tehnologije, Morseov kod je postao zastarjeo te se danas još koristi samo kao komunikacija u slučaju opasnosti, kao navigacijski radio signali i u radio amaterstvu ili kao indentifikacija signala mobilnih telefona, a koriste ga  i izviđači.

Morseov kod može biti emitiran na razne načine. Originalno je emitiran kao električni impuls duž telegrafske žice, ali isto kao i audio zvuk, radio signal, kao mehanički ili vizualni signal (npr. bljeskovi svijetla). Budući da se za emitiranje koda koriste samo dva stanja (on – off, 0 – 1, da – ne…) to je ustvari rana primjena binarnog koda. Internacionalno prihvaćeni standard za Morseov kod se sastoji od šest elemenata:

  • Kratki znak, ili točka
  • Dugi znak, ili crta
  • Razmak među elementima istog slova – traje koliko i jedna točkica
  • Razmak između slova – traje koliko i 3 točkice
  • Razmak između riječi – traje koliko i 5 točkica
  • Razmak između rečenica

untitled

Sredinom 1830-tih, Samuel Morse i Alfred Vail, razvili su električni telegraf koji je koristeći električnu struju upravljao elektro magnetom sa jedne ili druge strane žice. Tehnološka ograničenja su onemogučavala slanje individualnih znakova u čitljivom obliku stoga su izumitelji morali smisliti drugačiju metodu komunikacije. Koristeći papirnu vrpcu po kojoj je elektro magnet strugao kad je kroz žicu puštena električna struja, dobili su vrpcu koja je djelom bila “izgrebana”, a dijelom ne, ovisno o tome je li ili nije puštana struja duž žice.

Morseov kod je zamišljen da omogući operaterima da “dešifriraju” i čitaju oznake sa papirne vrpce. Prvotna ideja je bila da se šalju samo brojevi koji bi označavali riječi koje bi operater potražio u knjizi, međutim uskoro se razvila potreba za nekim specijalnim znakovima i složenijim porukama, tako da su sva slova i brojevi dobili svoju oznaku u crticama i točkicama.

Kada bi magnet strugao po vrpci proizvodio je kliktav zvuk, tako da su ubrzo operateri naučili “čitati” poruke simultano kako su stizale, tako da nije bilo potrebe za papirnom vrpcom. To je omogućilo upotrebu Morseova koda u radio komunikaciji koja je crtice i točkice interpretirala kao tonove ili pulseve znane kao “dah” i “dit”.

Morseov kod prvotno je zamišljen da bude jednostavno čitljiv ljudima bez uporabe računala, da postoji mogućnost improvizacije kod biranja načina ili izvora energije emitiranja te da samim time bude koristan kao komunikacija u slučaju nužde (npr. paljenje i gašenje svijetla, spajanje i prekidanje strujnog kruga, razni zvukovi (kucanje, struganje), razni vizualni podražaji (svijetlo, boje…). Međutim dužina i veličina varijabli elemenata Morseova koda otežala je integraciju sa automatiziranom računalnom komunikacijom pa su ga zamijenili [ drugi formati kao npr. Baudotov kod ili ASCII.

Originalna verzija Morseovog koda modificirana je 1848. u Njemačkoj, a izmjena je opće prihvaćena. U pisanju Morseova koda koriste se dva simbola “-” (dah) i “.” (dot). Točkica ili dot je mjerna jedinica vremena i oznaka tempa slanja poruke. Jedna crtica obično traje tri točkice. Jedan znak sastoji se od najviše pet osnovnih znakova (“-” ili “.”).

untitled1

Izvor: www.labin.com/web/neobavezna.asp?id=6671&idkat=53

1.1.      Loto i ostale igre i sportovi

MASTERMIND

Jedan igrač zadaje niz raznobojnim čepićima, koji drugi igrač pokušava pogoditi u što manje pokušaja. Za svaku pogođenu boju dobiva sivi čepić, a za svaku pogođenu boju i njen točan položaj dobiva crni čepić kao odgovor na svoj pokušaj. Igrači se unaprijed dogovore koliko će niz biti dug, koliko boja će koristiti i dopuštaju li ponavljanje boja u zadanoj kombinaciji.

Odigrajte u paru igru Mastermind ali tako da u svakom koraku računate koliko mogućnosti imate za rješenje (uzevši u obzir dobivene odgovore).

 

Primjer igre:

Niz će biti duljine 4, koristimo boje screenshot-at-oct-06-13-51-30, dopušteno je ponavljanje.

Zadani niz: screenshot-at-oct-06-13-51-40

Tijek igre:

screenshot-at-oct-06-13-52-23

Kod permutacija je bitan poredak elemenata. Zanemarimo li poredak pričamo o kombinacijama.

Primjer:

Na koliko načina možete izabrati

a)     1

b)     2

c)     3

od 10 karata.

 

Rješenje:

a) Očito je da jednu kartu možemo izabrati na 10 načina.

b) Zapravo tražimo broj dvočlanih podskupova skupa od 10 karata. Znamo da prvu kartu možemo odabrati na 10 načina, a drugu na 9 načina pa ukupno imamo  10*9 načina (permutacije bez ponavljanja duljine 2 od 10 elemenata).

Dvije odabrane karte čine isti skup bez obzira kojim redoslijedom ih biramo. Dvije karte možemo permutirati na  2! = 1 * 2 načina.

Ukupan broj kombinacija je stoga screenshot-at-oct-06-13-54-06.

c) Tražimo broj tročlanih podskupova skupa od 10 karata. Znamo da prvu kartu možemo odabrati na 10 načina, drugu na 9 načina, a treću na 8 pa ukupno imamo  10 * 9 * 8 načina (permutacije bez ponavljanja duljine 3 od 10 elemenata).

Tri odabrane karte čine isti skup bez obzira kojih redoslijedom ih biramo. Tri karte možemo permutirati na  3! = 1 * 2 * 3 načina.

Ukupan broj kombinacija je stoga screenshot-at-oct-06-13-55-57

 

Zadatak 1.  Osmislili ste sljedeću igru: Na stolu je 10 kartica – s gornje strane su brojevi od 1 do 10, a s donje su dvije boje (  crvenih i  plavih). Složite kartice na stol tako da se vide brojevi. Kažete igračima da odaberu n  kartica. Igrač koji pogodi svih n kartica s crvenom pozadinom osvaja vrijednu nagradu.

Koji  će dati najviše mogućih načina odabira?

Općenito:

  • Neka je A skup od n elemenata. Svaki k-člani podskup elemenata iz A skupa naziva se k-kombinacija od elemenata. Kako se radi o podskupu n-članog skupa, k ne može biti veći od n .
  • Broj k -kombinacija od elemenata iznosi screenshot-at-oct-06-14-15-04.

Broj (n/k) naziva se binomni koeficijent. Za binomne koeficijente vrijedi:

screenshot-at-oct-06-14-15-21

Ova nam svojstva daju jednostavan način za računanje binomnih koeficijenata  (n/k), k = 1,2, …, n – 1 pomoću trokutaste tablice:

screenshot-at-oct-06-14-15-36

Ta tablica naziva se Pascalov trokut. U -tom retku nalaze se binomni koeficijenti screenshot-at-oct-06-14-15-51

Prvi je i zadnji broj u retku jednak 1 jer je screenshot-at-oct-06-14-16-02. Ostale brojeve u retku računamo tako da zbrojimo dva broja iz prethodnog retka, onog „gore lijevo“ i onog „gore desno“.

Većina znanstvenih kalkulatora ima funkciju nCr koja računa binomni koeficijent (n/r). Provjerite i isprobajte.

Zadatak 2. Koliko petorki može sastaviti trener ako ima na raspolaganju 11 košarkaša?

 

Zadatak 3. Trener mora za utrku na 100 m izabrati dva trkača. Koliko trener trenira trkača ako je taj izbor mogao napraviti na 36 načina?

 

Zadatak 4. – EUROJACKPOT

Želite li osvojiti Eurojackpot treba pogoditi kombinaciju koja se sastoji od 5 brojeva iz grupe brojeva od 1 do 50 te 2 broja iz grupe od 1 do 10.

  1. Koliko kombinacija je moguće uplatiti?
  2. Cijena jedne kombinacije je 15 kn. Koliko trebate novaca ako želite biti sigurni da ćete osvojiti Eurojackpot (treba uplatiti sve kombinacije)?

 

Zadatak 5. – LOTO 7/39

Loto 7/39 je brojčana igra u kojoj je cilj pogoditi kojih će sedam brojeva biti izvučeno iz grupe brojeva od 1 do 39.

  1. Koliko kombinacija je moguće uplatiti?
  2. Cijena jedne kombinacije iznosi 3,00 kn. Koliko trebate novaca ako želite biti sigurni da ćete osvojiti Jackpot (treba uplatiti sve kombinacije)?
  3. Možete uplatiti i sistemski listić u kojem birate od 8 do 17 brojeva. Koliko kominacija ste uplatili ako ste uplatili sistemski listić sa 17 brojeva? Koliko ćete taj listić platiti?

 

Zadatak 6. – LOTO 6/45

Loto 6/45 je brojčana igra u kojoj je cilj pogoditi kojih će šest brojeva biti izvučeno iz grupe brojeva od 1 do 45.

  1. Koliko kombinacija je moguće uplatiti?
  2. Cijena jedne kombinacije iznosi 2,00 kn. Koliko trebate novaca ako želite biti sigurni da ćete osvojiti Jackpot (treba uplatiti sve kombinacije)?
  3. Joker je dodatna igra za koju se odlučujete označavanjem riječi “DA”. Za ostvarenje dobitka serijski broj listića treba djelomično ili u cijelosti odgovarati Joker broju. Dobitni Joker broj se utvrđuje tako da se od prvih šest izvučenih brojeva za igru Loto uzmu jedinice i one postaju znamenke dobitnog Joker broja (npr. izvučeni brojevi su: 36,15,24,33,12,31 – Joker broj će biti 654321). Može li bilo koji šesteroznamenkasti broj biti izvučen?

 

Zadatak 7. – KENO

Keno je brojčana igra u kojoj se izvlači 20 brojeva iz grupe brojeva od 1 do 80. Vi birate koliko izvučenih brojeva želite pogađati (Keno 1 – Keno 10).

  1. Koliko je mogućih kombinacija od 20 brojeva?
  2. Koliko je Keno 10 kombinacija u kojima je od 20 izvučenih brojeva 6 pogođeno, a 4 ne?
  3. Koliko je Keno 10 kombinacija u kojima je 10 od 20 izvučenih brojeva pogođeno?

 

Zadatak 8. – BINGO

Bingo je brojčana igra u kojoj se pogađa 15 brojeva iz grupe brojeva od 1 do 90. U ovoj igri dobijete gotovu tablicu. Brojevi se izvlače dok se ne dobije pobjednik.

  1. Koliko je mogućih kombinacija od 15 brojeva?
  2. Ako je izvučeno 18 brojeva, koliko je mogućih dobitnih kombinacija?
  3. Koliko brojeva treba izvući da bi sigurno imali dobitnika?

 

 1.1. Kako matematičar igra pikado

 

Intuitivno svi već znamo što je vjerojatnost.

  • Vjerojatnost je mjera mogućnosti da se ostvari neki događaj.
  • Izražavamo je realnim brojem iz intervala [0,1].

 

Ako smo sigurni da se događaj neće zbiti, kažemo da ima vjerojatnost 0 i zovemo ga nemoguć događaj. Vjerojatnost 1 pridružujemo događaju koji će se sigurno zbiti. Takav događaj zovemo siguran događaj. Ako je vjerojatnost nekog događaja 0.5, jednako je moguće da će se zbiti i da se neće zbiti. Vjerojatnost 0.95 znači da je događaj vrlo moguć (ali nije siguran).

 

SLUČAJAN POKUS

Slučajni pokus je postupak koji se uz definirane uvjete može ponavljati proizvoljan broj puta i čiji ishod ne znamo unaprijed. Na primjer, bacanje igraće kocke, izvlačenje karte iz špila, kontrola kvalitete proizvoda i slično. Slučajan pokus treba imati barem dva moguća ishoda.

Mogući ishodi slučajnog pokusa zovu se elementarni događaji. Bacamo li igraću kocku elementarni događaji su „pala je jedinica“, „pala je dvojka“, „pala je trojka“, „pala je četvorka“, „pala je petica“ i „pala je šestica“. Skup svih elementarnih događaja nekog slučajnog pokusa zovemo prostor elementarnih događaja i označavamo s .

Jedan ili više elementarnih događaja čine slučajni događaj. Primjeri slučajnih događaja kod bacanja igraće kocke su „pao je paran broj“, „pao je broj veći od četiri“, „pao je prost broj“ i slično. Radi se, zapravo, o podskupu prostora elementarnih događaja.

A = „pao je paran broj“ = {„pala je dvojka“, „pala je četvorka“, „pala je šestica“} ⊆Ω

Elementi tog skupa su povoljni ishodi za događaj „pao je paran broj“.

KLASIČNA DEFINICIJA VJEROJATNOSTI

  • A priori vjerojatnost nekog događaja jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda za taj događaj i ukupnog broja elementarnih ishoda.
  • P(A) = k(A)/k(Ω)

Ovdje pretpostavljamo da je prostor elementarnih događaja konačan i poznat te da su svi elementarni ishodi slučajnog pokusa jednako mogući. Tada vjerojatnost možemo odrediti bez iskustva – a priori.

 

Primjer:

Odredimo prostor elementarnih događaja za slučajan pokus bacanja igraće kocke. Koji su povoljni ishodi za događaj:

  1. “pao je paran broj”
  2. “pao je broj manji od 3”
  3. “pao je višekratnik broja 4”
  4. “pao je cijeli broj”
  5. “pao je dvoznamenkasti broj”.

Odredimo vjerojatosti navedenih događaja.

 

Rješenje:

Prostor elementarnih događaja sastoji se od 6 elementarnih ishoda: “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”.

a) Povoljni ishodi su “2”, “4”, “6”. Vjerojatnost je onda screenshot-at-oct-06-14-25-09

b) Povoljni ishodi su “1”, “2”. Vjerojatnost je onda screenshot-at-oct-06-14-25-18

c) Samo je jedan povoljan ishod pa je “4”. Vjerojatnost je onda screenshot-at-oct-06-14-25-27

d) Za ovaj su događaj povoljni svi elementarni ishodi tj. . Vjerojatnost je onda screenshot-at-oct-06-14-25-38

e) Za ovaj događaj nema povoljnih ishoda tj. . Vjerojatnost je onda screenshot-at-oct-06-14-25-49. To je nemoguć događaj.

 

 

Zadatak 1. Izvlačimo kartu iz špila od 52 dobro promiješane karte.

  1. Koja je vjerojatnost da izvučemo tref?
  2. Koja je vjerojatnost da izvučemo kralja?
  3. Koja je vjerojatnost da izvučemo tref kralja?

 

Zadatak 2. Slučajnim se odabirom bira jedna osnovna škola u Hrvatskoj koja će dobiti XBOX Kinect za upotrebu u nastavi. Koja je vjerojatnost da ta škola bude iz Splitsko-dalmatinske županije?

(Potrebne podatke potražite na web stranici Državnog zavoda za statistiku.)

 

FREKVENCIJSKA DEFINICIJA VJEROJATNOSTI

Često ne možemo pretpostaviti da su elementarni ishodi nekog pokusa jednako vjerojatni. No, ponavljanje toga pokusa može nam dati potrebne informacije.

Provedemo li isti pokus puta, a događaj kojeg promatramo se pojavi puta reći ćemo da je frekvencija tog događaja, a omjer k/n je relativna frekvencija tog događaja.

  • A posteriori vjerojatnost nekog događaja jednaka je broju kojemu teže relativne frekvencije tog događaja kada se pokus ponavljanja mnogo puta.

Zadatak 3. Svaki partner odluči se za jedan okus. U neprozirnu vrećicu oba partnera trebaju u tajnosti staviti određeni broj bombona okusa za koji su se odlučili. Izvlačite jedan po jedan bombon, bilježite ishod pokusa i vratite bombon u vrećicu. Zatim popunite tablicu:

screenshot-at-oct-06-14-29-45

GEOMETRIJSKA VJEROJATNOST

U geometrijskim slučajnim pokusima ishoda ima beskonačno mnogo. Zato geometrijske vjerojatnosti ne možemo računati prebrojavanjem nego ih računamo mjerenjem odgovarajućih duljina, površina ili volumena:

P(A) = m(a)/m(Ω) gdje je m:Ω →R geometrijska mjera (duljina, površina ili volumen).

 

Primjer:

Štap duljine 1 m slučajno je razlomljen na dva dijela. Kolika je vjerojatnost da će jedan razlomljeni dio biti kraći od 20 cm?

 

Rješenje:

Mjera cijelog štapa je 1 m = 100 cm.

Razlomimo li štap na udaljenosti manjoj od 20 cm od jednog kraja jedan će dio biti kraći od 20 cm.

screenshot-at-oct-06-14-33-25

Tražena vjerojatnost je .40/100 = 40%.

Zadatak 4. Slučajno biramo točku pravokutnika sa slike. Kolika je vjerojatnost da ona pripada osjenčanom dijelu?

screenshot-at-oct-06-14-49-36

Zadatak 5. – PIKADO

Upoznajmo bolje igru pikado. Meta ima dijametar 340 mm i podijeljena je na 20 isječaka. Centar (Bull’s eye) ima dijametar 12.7 mm i nosi 50 bodova, a prsten oko njega (Bull) nosi 25 bodova i ima dijametar 31.8 mm. Vanjski prsten (Double) ima radijus 8 mm – on udvostručava broj bodova tog isječka. Središnji prsten (Triple) ima također radijus 8 mm, njegov vanjski rub je 107 mm udaljen od centra, a pogodimo li ovaj dio bodovi se utrostruče.

pika

Ako igramo pikado nasumično i uvijek pogađamo metu kolika je vjerojatnost da pogodimo

  1. Bull’ eye
  2. broj 20
  3. Triple
  4. Triple 20
  5. Bull
  6. Double 8?

 SUBJEKTIVNA VJEROJATNOST

Neke vjerojatnosti mogu se samo subjektivno odrediti. Primjerice, vjerojatnost da će za pet dana pasti kiša ili vjerojatnost da će porasti dionice INE. Tu se oslanjamo na informacije koje su nam dostupne – podaci iz prošlih mjeseci ili godina, poznavanje političke situacije, informacije „iznutra“… Radi se o osobnoj procjeni ili uvjerenju. Dvije osobe mogu imati pristup različitim informacijama, pa će se s toga i njihove procjene vjerojatnosti razlikovati.

1.4 Kad slučajnost odlučuje

 

PRAVILA ZA RAČUNANJE VJEROJATNOSTI

Želimo li pomoću poznatih vjerojatnosti računati vjerojatnosti novih događaja, koje ovi stari određuju potrebna su nam pravila za njihovo računanje. Kako je svaki slučajan događaj podskup prostora elementarnih događaja , novi slučajni događaji određeni su skupovnim operacijama nad starima.

screenshot-at-oct-06-14-53-02

Zadatak 1. Neka je A događaj “Teo je bio na izletu” i B događaj “Teo je napisao domaću zadaću”. Zapiši pomoću skupovnih operacija događaje:

  1. “Teo nije bio na izletu”
  2. “Teo je bio na izletu i napisao je domaću zadaću”
  3. “Teo nije bio na izletu i nije napisao domaću zadaću”
  4. ” Teo je bio na izletu ili je napisao domaću zadaću “
  5. ” Teo je bio na izletu ili nije napisao domaću zadaću “.

 

Zadatak 2. Neka je A događaj “Ana ima psa” i B događaj “Ana trenira boks”. Zapiši riječima događaje:

screenshot-at-oct-06-14-57-48

 

Zadatak 3. Izvlačimo jednu kartu iz dobro promiješanog špila od 52 karte. Koja je vjerojatnost da je izvučena karta:

  1. pik
  2. nije pik
  3. pik ili slika
  4. pik ili nije slika

 

Zadatak 4. O vjerojatnosti dobitka pričalo se od kada su počele igre na sreću (prije više od 6000 godina), a matematika je uplela svoje prste tek u 17. stoljeću. Francuski plemić i kockar Chevalier de Méré često se kladio u dvije igre:

  1. da će u četiri bacanja igraće kocke dobiti barem jednu šesticu,
  2. da će u 24 bacanja dvije igraće kocke dobiti barem jednom duplu šesticu.

Primijetio je da su šanse za dobitak u slučaju a) veće od 50%, dok su u slučaju b) manje od 50%. Mislio je da matematika nalaže da šanse budu iste, jer je 4:6=24:36. Je li moguće da kockarska stvarnost opovrgava matematiku? S tim se pitanjem obratio mladom matematičkom geniju i svojem prijatelju Blaise Pascalu. Pascal je u raspravu uvukao i Pierre de Fermata, i tako je rođena teorija vjerojatnosti. Znate li riješiti de Méréov problem?

 

Primjer:

U utrci pasa rani omjeri šansi za pobjedu su 12 : 6 : 11 : 5 : 13 : 7 (šest pasa u šest staza). Kolika je vjerojatnost za pobjedu psa u petoj stazi? Kolika je vjerojatnost da pobijedi pas u petoj ili šestoj stazi?

 

Rješenje:

Jedan od šest pasa mora pobijediti pa je prostor elementarnih događaja Ω = {P1,P2,P3,P4,P5,P6} Iz gornjih omjera vidimo da je:P(P1) = 12k:,P(P2) = 6k,P(P3) = 11k, P(P4) = 5k, P(P5) =13k i P(P6) = 7k  .

Iz P(Ω) = 1 i zbog disjunktnosti elementarnih događaja imamo:

screenshot-at-oct-06-15-01-56

Sada vidimo da je screenshot-at-oct-06-15-02-09.

Događaji i su disjunktni pa vrijedi: screenshot-at-oct-06-15-02-17.

 

 

Zadatak 5. Odigrajte 10 puta izabranu igru i zabilježite omjere pobjeda pojedinog igrača. Zatim neka svatko za sebe izračuna:

  1. Koja je vjerojatnost da pobijediš u sljedećoj partiji?
  2. Koja je vjerojatnost da izgubiš u sljedećoj partiji?
  3. Koja je vjerojatnost da pobijediš ti ili igrač tebi slijeva?

 

UVJETNA VJEROJATNOST

Primjer:

U kutiji se nalazi 15 bombona – 5 punjenih likerom od višnje i 10 punjenih kremom od lješnjaka. Izvlačimo jedan po jedan bombon i ne vraćamo ih u kutiju nakon izvlačenja.

  1. Koja je vjerojatnost da izvučemo bombon s likerom od višnje, ako smo već ranije izvukli jedan bombon s likerom od višnje?
  2. Koja je vjerojatnost da izvučemo dva bombona s likerom od višnje za redom?

Rješenje:

Označimo sa B događaj “u prvom izvlačenju izvučen je bombon s likerom od višnje”, a sa A događaj “u drugom izvlačenju izvučen je bombon s likerom od višnje”.

  1. a) Znamo da je P(B) = 5/15. Ono što tražimo je uvjetna vjerojatnost – vjerojatnost da je izvučen bombon s likerom od višnje uz uvjet da je već jednom izvučen bombon s likerom od višnje. Tu vjerojatnost označavamo s P(A|B), a ona iznosi 4/14(ako je već jedan bombon s likerom od višnje izvučen onda je u kutiji 14 bombona od čega 4 s likerom od višnje). Dakle, screenshot-at-oct-06-15-06-47.
  • Vjerojatnost događaja A uz uvjet da se dogodio B događaj računamo screenshot-at-oct-06-15-07-00.

(Ako znamo da se dogodio događaj B onda on postaje novi prostor Ω’ elementarnih događaja, .)

screenshot-at-oct-06-15-07-09

c) Ovdje nas zanima vjerojatnost događaja A∩B. Gornju formulu možemo shvatiti i kao pravilo za računanje P(A∩B).

screenshot-at-oct-06-15-09-59

Zadatak 6. Bacate novčić dva puta. Koja je vjerojatnost da oba puta dobijete pismo?

Općenito:

  • ako vrijedi P(A│B)≠P(A) događaji A i B su zavisni,
  • ako vrijedi P(A│B)=P(A) događaji A i B su nezavisni,
  • za nezavisne događaje vrijedi P(A∩B)=P(A)⋅P(B).

Zadatak 7. Bacate igraću kocku tri puta. Koja je vjerojatnost da dobijete:

  1. jedinicu, trojku i šesticu
  2. tri jedinice
  3. tri šestice.

 

Zadatak 8. Len Deighton u svom romanu Bombarder piše kako je pilot u Drugom svjetskom ratu imao 2% izgleda da bude oboren na svakom zadatku. Kaže zatim da je letač bio matematički siguran da će u 50 letova biti oboren. Je li to istina?

 

Zadatak 9. Kolika je vjerojatnost da barem dvije popisane osobe imaju rođendan na isti dan?

 

1.5 Kako povećati svoje šanse u kvizu

 

BERNOULIJEVA FORMULA

Često se u primjenama pojavljuje pokus sa samo dva moguća ishoda – uspjeh ili neuspjeh. Neka je vjerojatnost uspjeha p. Tada je vjerojatnost neuspjeha 1 – p.

screenshot-at-oct-06-15-12-21

Pretpostavimo da ponavljamo isti pokus n puta. Vjerojatnost da će se točno k pokusa završiti uspjehom jednaka je:

screenshot-at-oct-06-15-13-29

Naime, k uspjeha među n pokusa možemo izabrati na (n¦k) načina. Svaki od njih ima vjerojatnost p, a svaki od preostalih n-k ima vjerojatnost 1-p.

Zadatak 1. Bacamo igraću kocku. Kolika je vjerojatnost da u 10 bacanja:

  1. dobijemo točno 4 šestice,
  2. ne dobijemo ni jednu šesticu
  3. dobijemo barem jednu šesticu?

 

Zadatak 2. Pokazalo se da u serijskoj proizvodnji šalica bude 5% šalica s greškom. Kolika je vjerojatnost da među 5 slučajno odabranih šalica bude:

  1. točno jedna šalica s greškom
  2. niti jedna šalica s greškom
  3. svih pet šalica s greškom
  4. najviše dvije šalice s greškom
  5. barem tri šalice s greškom?

 

STABLO VJEROJATNOSTI

Stablo vjerojatnosti je dijagram zadanog pokusa. Grane stabla završavaju elementarnim ishodima tog pokusa – njihove vjerojatnosti su umnošci vjerojatnosti ispisanih na toj grani. Kada znamo vjerojatnosti elementarnih ishoda, lako izračunavamo sve ostale vjerojatnosti.

 

Primjer:

U jednoj kutiji nalazi se 5 bombona – 3 “lješnjaka” i 2 “višnje”. U drugoj kutiji nazali se 10 bombona – 7 “lješnjaka” i 3 “višnje”. Bacanjem igraće kocke odlučujemo iz koje kutije izvlačimo kuglicu – ako padne 1 ili 2 izvlačimo iz prve kutije, a ako padne 3, 4, 5 ili 6 izvlačimo iz druge kutije. Kolika je vjerojatnost da ćemo izvući “višnju”?

 

Rješenje:

Označimo s:

  • K_1 događaj “izvlačili smo bombon iz 1. kutije”
  • K_2 događaj “izvlačili smo bombon iz 2. kutije”
  • V događaj “izvučena je višnja”
  • Lj događaj “izvučen je lješnjak”.

Nacrtajmo stablo vjerojatnosti za zadani pokus.

screenshot-at-oct-06-15-16-11

Iz dijagrama vidimo da je vjerojatnost da je “višnja” izvučena iz 1. kutije 2/15, a vjerojatnost da je “višnja” izvučena iz 2. kutije 1/5. Vjerojatnost da je izvučena “višnja” onda je 2/15+1/5=5/15=1/3.

Zadatak 3. Farmaceutska tvrtka provodi testiranje tri vrste lijeka protiv migrene – M1, M2 i M3. Slučajno će odabrati pola dobrovoljno prijavljenih pacijenata koji će testirati lijek M1, 30% koji će testirati M2, a ostatak će testirati M3. Pola pacijenata koji testiraju M1 dobit će placebo, trećina pacijenata koji testiraju lijek M2 dobit će placebo i četvrtina pacijenata koji testiraju M3 dobit će placebo.

Strašno vas muče migrene i želite se prijaviti na istraživanje. Koja je vjerojatnost da ćete dobiti placebo?

 

Zadatak 4. Izbila je epidemija nove bolesti koja zahvaća 1% stanovništva. Odlučili ste se testirati, iako nemate simptome. Test je 90% pouzdan (za 90% zaraženih rezultat testa je pozitivan, za 90% nezaraženih rezultat testa je negativan). Vaš test je pozitivan. Trebate li se zabrinuti?

 

Zadatak 5. Natjecatelj ste u kvizu. Birate između troja vrata. Iza dvoja vrata nalaze se koze, a iza jednih automobil. Odlučili ste se za vrata broj 1. Voditelj kviza otvara jedna od preostala dvoja vrata iza kojih je koza (voditelj zna gdje je automobil pa ta vrata ne otvara). Pita vas „Hoćete li promijeniti svoj izbor?“ Hoćete li?

 

Zadatak 6. Istraživači tržišta trebaju obaviti razgovore s bračnim parovima za jednu studiju. Istraživač stiže u kuću s tri stana. U jednom stanu živi bračni par, u drugom dvije žene, a u trećem dva muškarca. Na vratima stanova ne pišu imena, pa istraživač kuca na vrata nasumično. Vrata mu otvara žena. Kolika je vjerojatnost da je istraživač pogodio stan u kojem živi bračni par?