2. Nacrtna geometrija – 2.1 Miš vs. olovka


2.1 Miš vs. olovka

ALATI SKETCHPADA

Sketchpad 5.03HR program je dinamične geometrije pomoću kojega ćemo rješavati sve zadatke iz Nacrtne geometrije. Kako bismo naučili služiti se programom prvo ćemo se upoznati s alatima za crtanje. Svi se oni nalaze ili u alatnoj traci s lijeve strane radne površine ili u izborniku Konstrukcije (Slika 1).

mis

Crtanje točke  

Točke crtamo pomoću alata za crtanje točke koji se nalazi u alatnoj traci za crtanje i pisanje na lijevoj strani radne površine.

0002

Veličina i označavanje točke

Želimo li promijeniti veličinu točke, to činimo pomoću naredbe Veličina točke izbornika Zaslon ili pomoću desnog klika miša. Na raspolaganju imamo četiri različite veličine točke (točkica, mala, srednja i velika).

3

Točke označavamo pomoću alata za tekst koji se također nalazi na alatnoj traci s lijeve strane.

4

Kako bismo promijenili oznaku točke A, dovoljno je opet odabrati alat za tekst, a zatim dvostruko kliknuti na oznaku A. Otvara se dijaloški prozor u kojem možemo promijeniti postojeću oznaku (npr. T). Želimo li točki pridružiti indeks npr. T1, tada ćemo u dijaloškom prozoru upisati T[1].

 

Crtanje dužine

Zadatak 2. Nacrtajte dvije točke.

  1. Označite točke slovima A i B.
  2. Nacrtajte dužinu AB.
  3. Dužinu AB označite slovom a.
  4. Mijenjajte položaj točaka A i B.

 

Rješenje:

Dužine crtamo na dva načina.

  1. Pomoću alata za ravne objekte (dužina).

5

2. Pomoću naredbe Dužina izbornika Konstrukcije (uz uvjet da su zadane rubne točke dužine).

6

Crtanje pravca

Zadatak 3.

  1. Nacrtajte dvije točke.
  2. Označite točke slovima P i Q.
  3. Točkama P i Q nacrtajte pravac PQ.
  4. Pravac PQ označite slovom p.
  5. Mijenjajte položaj točaka P i Q.

 

Rješenje:

Kao i dužinu, i pravac crtamo na dva načina:

1. Pomoću alata za ravne objekte (pravac).

7

2. Pomoću naredbe Pravac izbornika Konstrukcije (uz uvjet da su zadane bar dvije točke pravca).

8

Crtanje polupravca

Zadatak 4.

  1. Nacrtajte dvije točke.
  2. Označite točke slovima P i A.
  3. Nacrtajte polupravac (zraku) PA.
  4. Polupravac PA označite slovom s.
  5. Mijenjajte položaj točaka P i A.

 

Rješenje:

Polupravac crtamo na dva načina:

1.Pomoću alata za ravne objekte (polupravac).

9

2. Pomoću naredbe Polupravac izbornika Konstrukcije (uz uvjet da su zadane dvije točke). Pazite na poredak točaka!

10

Crtanje kružnice (središte + točka)

Zadatak 5.

  1. Nacrtajte dvije točke.
  2. Označite točke slovima S i T.
  3. Nacrtajte kružnicu sa središtem S koja sadrži točku T.
  4. Kružnicu označite slovom k.
  5. Točkama S i T nacrtajte dužinu ST.
  6. Označite dužinu sa r.
  7. Mijenjajte položaj točaka S i T.

 

Rješenje:

Kružnicu, određenu središtem i točkom, crtamo na dva načina.

  1. Pomoću alata za kružnicu. (Alatom za crtanje kružnice, crtaju se kružnice kojima je duljina polumjera proizvoljna, odnosno kružnica ovako nacrtana ne utječe na rješenje zadatka.)

11

Pomoću naredbe Kružnica: središte + točka izbornika Konstrukcije (uz uvjet da je zadano središte i jedna točka na kružnici). Uočite da je važan redoslijed označavanja točaka.

12

Crtanje kružnice (središte + polumjer)

Zadatak 6. Dana je dužina i točka S. Nacrtajte kružnicu k sa središtem S i radijusom . Mijenjajte položaj točke S i duljinu dužine .

Rješenje:

Kružnicu određenu središtem i polumjerom crtamo pomoću naredbe Kružnica: središte + polumjer izbornika Konstrukcije.

13

Točka na objektu

Zadatak 7.

  1. a) Na dužini AB odaberite proizvoljnu točku P.
  2. b) Na kružnici k(S,r) odaberite proizvoljnu točku T.
  3. c) Na rubu kvadratu EFGH odaberite proizvoljnu točku R.

Rješenje:

Na svakom objektu možemo odabrati neku njegovu točku. Kako bi ta točka sigurno pripadala zadanom objektu (npr. kružnici), konstruiramo je pomoću naredbe Točka na kružnici izbornika Konstrukcije.

14

Stil i označavanje crte

Zadatak 8. Nacrtajte dužinu a.

  1. Promijenite debljinu crte u Srednja.
  2. Promijenite stil crte u Puna.
  3. Krajnje točke dužine označite s A i B.

 

Rješenje:

Crte (dužine, pravce, polupravce, kružnice i kružne lukove) možemo, kao i točke, označavati pomoću alata za tekst. Također, možemo im mijenjati stil pomoću naredbe Stil crte izbornika Zaslon ili pomoću desnog klika miša. Crte mogu biti pune, iscrtkane ili točkaste, a na raspolaganju imamo i četiri debljine (vrlo tanka, tanka, srednja i debela).

15

Boje

Zadatak 9. Sve točke na slici obojite u zeleno, sve crte u žuto, a unutrašnjost kruga u plavo.

Rješenje:

Svakom objektu (točka, dužina, pravac, …) možemo promijeniti boju pomoću ponuđene palete boja ili odabirom po volji bilo koje boje. Boje možemo mijenjati pomoću palete Boja izbornika Zaslon ili pomoću desnog klika miša.

16

Polovište

Zadatak 10. Dana je dužina AB.

  1. Odredite polovište dužine i označite s P.
  2. Mijenjajte položaj točaka A i B.

 

Rješenje:

Polovište dužine konstruiramo pomoću naredbe Polovište izbornika Konstrukcije.

17

Presjeci

Zadatak 11. Dani su pravac p i kružnica k.

  1. Odredite točke presjeka pravca p i kružnice k te ih označi sa T1 i T2.
  2. Mijenjaj položaj pravca p i kružnice te k. Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i kružnica?

 

Rješenje:

Točke presjeka (točno) dvaju objekata određujemo pomoću naredbe Presjeci izbornika Konstrukcije.

18

Paralela i okomica

Zadatak 12. Na slici su dani pravac AB i točka T.

  1. Točkom T nacrtajte/konstruirajte pravac a paralelan/usporedan s pravcem AB.
  2. Točkom T nacrtajte/konstruirajte pravac b okomit na pravac AB.
  3. Mijenjajte položaj pravca AB i točke T.

 

Rješenje:

Ako su zadani pravac i neka točka u ravnini, onda paralelu sa zadanim pravcem kroz zadanu točku konstruiramo pomoću naredbe Paralela izbornika Konstrukcije.

19

Ako su zadani pravac i neka točka u ravnini, onda okomicu na zadani pravac zadanom točkom konstruiramo pomoću naredbe Okomica izbornika Konstrukcije.

20

Simetrala dužine

Zadatak 13. Zadana je dužina AB.

  1. Nacrtajte simetralu s zadane dužine.
  2. Mijenjajte položaj točaka A i B.

 

Rješenje:

Kako bismo konstruirali simetralu neke dužine, povezat ćemo konstrukcije polovišta dužine i okomice na dužinu zadanom točkom.

21

Simetrala kuta

Zadatak 14. Zadanom kutu ∠AVB nacrtajte simetralu sV. Mijenjajte položaj točke B.

Rješenje:

Simetralu kuta crtamo pomoću naredbe Simetrala kuta izbornika Konstrukcije. (Za primjenu te naredbe moraju biti zadane tri točke, pri čemu je vrh kuta srednja od tri točke koje određuju kut). Redoslijed određivanja točaka kuta je važan.

22

Kružni luk

Zadatak 15. Na kružnici k dane su točke A, B, C i D.

  1. Nacrtajte kružne lukove AB i CD.
  2. Mijenjajte položaj točaka A, B, C i D.

 

Rješenje:

Kružni luk određujemo pomoću naredbe Kružni luk izbornika Konstrukcije. Za crtanje kružnog luka potrebno je označiti kružnicu i neke njezine dvije točke. Prisjetimo se da dvije točke na kružnici definiraju dva kružna luka. Od jedne krajnje točke luka do one druge, luk je orijentiran u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Zamijenimo li redoslijed označavanja točaka na kružnici, nacrtat ćemo drugi kružni luk određen tim točkama.

23

Luk određen trima točkama

Zadatak 16. Dane su točke A, B i C. Nacrtajte kružni luk kojem pripada točka C.

Rješenje:

Kružni luk kroz tri točke crtamo pomoću naredbe Luk kroz 3 točke izbornika Konstrukcije. Slično kao kod označavanja kuta, treba paziti na poredak točaka. Druga po redu odabrana točka je u tom slučaju neka točka tog luka.

24

Crtanje mnogokuta / Unutrašnjost

Zadatak 17. Dane su točke A, B, C, D i E. Nacrtajte peterokut ABCDE te obojite njegovu unutrašnjost žutom bojom. Mijenjajte položaj točaka A, B, C, D i E.

Rješenje:

Mnogokut crtamo tako da redom označimo njegove susjedne vrhove. Kada označimo sve vrhove, naredbom Dužine izbornika Konstrukcije nacrtamo sve stranice.

25

Na sličan način možemo obojati unutrašnjost mnogokuta. Najprije redom označimo sve vrhove, a zatim naredbom Unutrašnjost mnogokuta izbornika Konstrukcije istaknemo bojom unutrašnjost mnogokuta.

26

Unutrašnjost mnogokuta možemo obojati i pomoću alata za mnogokut u alatnoj traci s lijeve strane. Pri tome redom odaberemo sve vrhove, a na onom posljednjem dvostrukim klikom miša završimo crtanje mnogokuta.

27

TRANSFORMACIJE RAVNINE

 

Nakon izbornika Konstrukcije, upoznajmo i alate pomoću kojih izvodimo osnovne transformacije ravnine (translacija, rotacija, dilatacija i zrcaljenje). Te se naredbe nalaze u izborniku Transformacije.

28

Translacija

Zadatak 18. Točku T translatirajte za dani vektor AB . Sliku točke T označite T’. Mijenjajte položaj točke T i vektora AB.

Rješenje:

29

Rotacija

Zadatak 19. Točku T rotirajte oko zadane točke O za zadanu veličinu kuta ∠AVB. Mijenjajte položaj točaka T, O i B.

Rješenje:

30

Osim za označeni kut, skupovi točaka mogu se rotirati i za točno određenu veličinu kuta, koju je potrebno upisati u dijaloški prozor.

Dilatacija (homotetija)

Zadatak 20. Dilatirajte točku T oko točke O za faktor k = 1/3, tj. odredite točku T’ na pravcu OT za koju vrijedi screenshot-at-oct-07-09-20-38  pri čemu su točke T i T’ s iste strane točke O. Mijenjajte položaj točaka O i T.

Rješenje:

Kako bismo dilatirali neki objekt, prvo moramo definirati središte dilatacije i koeficijent.

31

Zrcaljenje ili osna simetrija

Zadatak 21. Točku T zrcalite s obzirom na pravac s . Sliku točke T označite T’. Mijenjajte položaj točke T i pravca s.

Rješenje:

32

Prenošenje dužine

Zadatak 22. Zadan je pravac p i točka C na pravcu, te dužina AB. Odredite točku D na pravcu p takvu da vrijedi |CD|=|AB|.

Rješenje:

Koraci konstrukcije:

  1. Kružnica k(C,|AB|).
  2. Točke D1 i D2 (presjeci kružnice kC i pravca p)
  3. Dužina CD1.
  4. Dužina CD2.

33

Prenošenje kuta

Zadatak 23. Zadan je kut ∠AVB i polupravac p s početnom točkom O. Konstruirajte kut ∠POQ takav da točka P pripada polupravcu p te vrijedi |∠POQ|=|∠AVB|.

Rješenje:

Zadatak ćemo riješiti rotacijom polupravca p za zadani kut ∠AVB

Koraci konstrukcije:

  1. Proizvoljna točka P na polupravcu p.
  2. Točka je O središte rotacije.
  3. Označite kut ∠AVB.
  4. Rotacija polupravca p oko središta O za označeni kut (označite polupravac).
  5. Polupravac p’.
  6. Označite kut ∠BVA.
  7. Rotacija polupravca p oko središta O za označeni kut.
  8. Polupravac p”.

34

Zadatak 24. Napravite prezentaciju koraka rješenja prethodnog zadatka.