2.2 Kako nacrtati ono što ne vidim?


Cilj je nacrtne geometrije prikazati trodimenzionalni objekt na dvodimenzionalnoj plohi na način da promatrač ima što točniju predodžbu o tom prostornom objektu. Nastala je iz potpuno praktičnih potreba, razvojem tehnike (brodogradnja, građevinarstvo, strojarstvo), astronomije (projiciranje prirodnih nebeskih tijela), geografije (kartografija), arhitekture i slikarstva (perspektiva). U ovom ćemo poglavlju opisati trodimenzionalni prostor u kojemu ćemo rješavati neke probleme nacrtne geometrije. Njegovi osnovni elementi su točke, pravci i ravnine.

Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru

35

  1. Paralelni/usporedni pravci u prostoru su pravci koji pripadaju istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.
  2. Ako pravci pripadaju istoj ravnini, a nisu paralelni, onda se oni sijeku.
  3. Pravci su mimosmjerni/mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ne postoji ravnina kojoj pripadaju oba pravca.

Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru

36

  1. Dvije ravnine međusobno su paralelne/usporedne ako nemaju zajedničkih točaka.
  2. Ako se ravnine sijeku, njihov je presjek pravac koji nazivamo zajednička presječnica.

Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru

37

39

  1. Pravac pripada ravnini ako su sve njegove točke u toj ravnini.
  2. Pravac je paralelan/usporedan s ravninom ako s njom nema zajedničkih točaka.
  3. Pravac probada ravninu ako s njom ima točno jednu zajedničku točku, probodište.

Okomitost pravca i ravnine

Pravac p okomit je na ravninu α ako je okomit na sve pravce ravnine α probodištem P.

40

Paralelno projiciranje

Nacrtna geometrija daje rješenja kako prostornu figuru preslikati u ravninsku. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranjima prostora na ravninu i u praksi se koristi centralno i paralelno projiciranje.

Kod paralelnog projiciranja zrake projekcije međusobno su usporedne. Svakoj točki A prostora pridružuje se probodište pravca kroz A i ravnine π. Razlikujemo koso i ortogonalno projiciranje, ovisno o tome jesu li zrake projekcije okomite na ravninu ili ne.

67

68

69

 

a) Ortogonalna projekcija točke A na ravninu α p je ravnine α i probodište je ravninaα i okomice točkom A na tu ravninu.

b) Ortogonalna projekcija dužine AB na ravninu α.

c) Ortogonalna projekcija pravca na ravninu α.

Ortogonalna projekcija dužine AB na ravnu α je dužina . Ona je spojnica projekcija A’ i B’ točaka A i B. Ortogonalna projekcija bilo koje točke dužine AB pripada dužini A′B′.

Ortogonalna projekcija pravca na ravninu α je pravac A’B’ određen ortogonalnim projekcijama bilo kojih dviju točaka pravca AB na ravninu α.

Zadatak 1. Nacrtajte probodišta pravca određenog zadanim točkama A i B s ravninom α. Točke A’ i B’ ortogonalne su projekcije točaka A i B na ravninu α.

Centralno projiciranje

Kod centralnog projiciranja zrake projekcije „izlaze“ iz jedne točke S koju nazivamo centrom/središtem projiciranja. Svakoj točki A ravnine paralelne s ravninom π pridružuje se točka A’ u kojoj pravac AS probada ravninu π. Jedan od oblika centralnog projiciranja je persspektivno projiciranje čemu ćemo posebno posvetiti pažnju.

70

71

72

a) Centralna projekcija točke A na ravninu α s obzirom na središte S je probodište A’ polupravca SA i ravnine α.

b) Centralna projekcija dužine AB na ravninu α s obzirom na središte S.

c) Centralna projekcija pravca na ravninu α s obzirom na središte S.

Zadatak 2. Nađite probodište:

a) P pravca a (određenog zadanom točkom A i kojem jedan dio, prikazan na slici, pripada pobočki piramide) i ravnine α.

b) Q pravca b (određenog zadanom točkom B i kojem jedan dio, prikazan na slici, pripada pobočki piramide) i ravnine α.

73

Zadatak 3. Nađite probodište pravca AB određenog zadanim točkama A i B s ravninom α.

74

Zadatak 4. Odredite presjek dviju ravnina koje su zadane tragovima.

75

Zadatak 5. Nacrtajte/ konstruirajte presjek kocke i ravnine DKM.

76

Kosa projekcija

Kosa projekcija oblik je paralelnog projiciranja kad zrake projekcije zatvaraju s ravninom projekcije neki kut različit od 90°. Rješenja sljedećih problema crtat ćemo unutar kocke prikazane u kosoj projekciji. Uobičajeno ju je crtati na način prikazan na desnoj slici.

Uočimo kako se prikazom kocke u kosoj projekciji čuva se međusobna paralelnost bridova, za razliku od centralnog projiciranja.

77

Kako istu kocku možemo promatrati na dva različita načina, nevidljive bridove crtamo iscrtkano (Slika 76.).

78

TLOCRT – NACRT – BOKOCRT

Mongeova metoda za prikazivanje 3D objekata u 2D ravnini koristi ortogonalne projekcije na tri, u parovima međusobno okomite ravnine, koje nazivamo ravnina tlocrta, ravnina nacrta i ravnina bokocrta. Označavamo ih redom π1, π2 i π3 (slika 77).

Na slici 78 prikazana je projekcija neke točke prostora na ravnine π1 (ravnina tlocrta), π2 (ravnina nacrta) i π3 (bokocrtna ravnina).

79

80

  • Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π1 označavamo P‘ te je zovemo tlocrt točke P (pogled odozgo).
  • Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π2 označavamo P” te je zovemo nacrt točke P (pogled sprijeda).
  • Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π3 označavamo P”’ te je zovemo bokocrt točke P (pogled zdesna). Uobičajeno je crtati desni bokocrt, osim ako nije drugačije definirano.

Primjer 1. Nacrtajmo tlocrt, nacrt i bokocrt kocke.

81

Primjer 2. Geometrijskom tijelu na slici nacrtajmo projekcije tlocrta, nacrta i bokocrta (i desni i lijevi).

82

Rješenje:

83

Zadatak 1. Na idućim su slikama geometrijske figure prikazane u kosoj projekciji. Nacrtajte projekcije tlocrta, nacrta i bokocrta (lijevi i desni) za svaku od figura.

84

Primjer 3. Geometrijsko tijelo (figuru) prikazano projekcijama (tlocrt, nacrt i bokocrt), nacrtajmo u kosoj projekciji.

85

Rješenje:

86

Zadatak 2. Geometrijske figure prikazane su svojim projekcijama. Nacrtajte ih u kosoj projekciji. (Iscrtkanim linijama istaknuti su nevidljivi bridovi.

87

88