2.3 Mogu li se paralelni pravci sjeći?


89

90

Kako vidimo kocku?

U prethodnom smo poglavlju objekte prikazivali unutar kocke nacrtane u kosoj projekciji (lijeva slika), koja je jedan od načina paralelnog projiciranja. Tako su svi međusobno paralelni bridovi ostali paralelni i nakon projiciranja. Međutim, naše oko ne vidi stvarnost na taj način, o čemu najbolje svjedoči strip sa prethodne stranice. Zamislimo li kocku, najvjerojatnije ćemo vizualizirati onu s lijeve slike iako ju nikad ne vidimo na taj način, već na onaj prikazan na desnoj slici. To ne znači da kosa projekcija nije ispravna; ona je samo jedan od načina prikazivanja trodimenzionalnog objekta na dvodimenzionalnu plohu i često se koristi u arhitekturi, građevini itd. Međutim, želimo li nacrtati objekt točno onakvim kakvim ga vidimo, koristit ćemo oblik centralnog projiciranja, odnosno perspektivu (lat. perspectiva ars; optička znanost, perspectus; jasno viđen, perspicere; gledati kroz nešto, vidjeti nešto). Tada se neće svi paralelni pravci projicirati u međusobno paralelne, već će se neki od njih sjeći u jednoj točki, a dužine će se smanjivati s udaljenošću. Pravila koja će nam omogućiti crtanje perspektivnih slika objekata otkrit ćemo u ovom poglavlju.

91

92

Povijest perspektive

Potreba za crtanjem onoga što vidimo stara je kao i sama povijest čovječanstva. Od prapovijesti do danas ljudi su primjenjivali različita rješenja prilikom prikaza trodimenzionalnog objekta na dvodimenzionalnoj plohi, što je ilustrirano na sljedećim slikama.

94

Svako stilsko razdoblje ima svoju perspektivu, odnosno svoj način prikaza prostora. U Egiptu je korišena vertikalna perspektiva, u gotici obrnuta, a u renesansi linearna perspektiva. Pojavljuje se i atmosferska perspektiva (barok) te koloristička (XX.st). U nastavku ćemo se baviti linearnom (geometrijskom) perspektivom koja je rezultat potrage za matematičkim pravilima crtanja, a izvorno se razvila u renesansi.

Predrenesansni slikari Duccio di Buoninsegna (1255.-1319.) na svoj slici Posljednja večera pokazuje značajan pomak u prikazu pravaca okomitih i paralelnih s ravninom slike, ali još uvijek ne uspijeva u potpunosti. Slične rezultate postiže i Ambrogio Lorenzetti (1300.-1348.) u djelu Navještenje.

95

Filippo Brunelleschi (1377.-1446.) prvi je ctao točne perspektivne kompozicije, a poznat je po svojim eksperimentima kojima je provjeravao točnost konstrukcije. Naime, na crtežu bi probušio rupu točno na mjestu nedogleda i postavio ogledalo ispred crteža. Gledajući odraz slike na ogledalu, mogao je usporediti odgovara li njegov crtež stvarnom prikazu krstonice u Firenzi ispred koje se nalazio.

96

Leon Battista Alberti (1404.-1472.) u svojoj knjizi Della pittura daje prvu poznatu definiciju perspektivnog crtanja i objašnjava, korak po korak, konstrukciju prikazanu na sljedećoj slici (Costruzione legittima).

99

Piero della Francesca (1415.-1492.) objavio je čak tri djela u kojima se bavi perspektivom: Traktat o abaku, Kratka knjiga o pet pravilnih tijela i O perspektivi u slikarstvu. Njegovo razumijevanje zakonitosti perspektive očito je na slici Bičevanje Krista.

100

Slika 97.

Leonardo da Vinci (1452.-1519.) svojim remek djelom Posljednja večera pokazuje savršeno razumijevanje pravila perspektive, toliko da je na njegovoj slici nemoguće pronaći grešku.

101

Albrecht Dürer (1471.-1528.) u djelu Četiri knjige o proporcijama objašnjava kojim su se metodama koristili stari majstori kako bi što vjernije prikazali promatranu situaciju. Slikar bi postavio kuku na mjestu oka promatrača i nategnuo konopac do promatrane točke objekta. Tako bi na okviru zabilježio položaj točke, odvezao uže i zarotirao platno te ucrtao točku na njega. Druga je metoda uključivala okvir s kvadratnom mrežom i istu nacrtanu na papiru kako bi što točnije reproducirali položaj promatranih točaka objekata.

102

103

Perspektiva se neprekidno razvijala do Gasparda Mongea (1746.-1818.) nakon kojega postaje sastavni dio nacrtne (deskriptivne) geometrije. On je bio taj koji je razvio novu disciplinu prikazivanja trodimenzionalnog objekta na tri međusobno okomite ravnine (tlocrtnu, nacrtnu i bokocrtnu).

Temeljni pojmovi perspektive

Kako nastaje perspektivna slika objekta?

105

Na prethodnim je slikama prikazano kako nastaje perspektivna slika objekta koji se nalazi u horizontalnoj, odnosno vertikalnoj ravnini. Možemo zamisliti slikara koji stoji pred platnom i crta sliku nekog objekta. Centralna projekcija ili perspektivna slika objekta nalazi se između oka i objekta.

Horizontalna, odnosno vertikalna ravnina u kojoj se nalazi objekt zove se ravnina objekta, a s njom okomita, odnosno paralelna ravnina je ravnina slike. Pravac iz oka slikara do neke točke objekta je vidni pravac ili pravac projekcije, a perspektivnu sliku čine probodišta vidnih pravaca i ravnine slike. Udaljenost slikara od platna zovemo distancijom.

Da bismo otkrili pravila pomoću kojih ćemo određivati perspektivne slike različitih objekata trebamo definirati još neke važne pojmove. Stoga promotrimo sljedeće dvije slike.

106

Oko slikara, odnosno središte projekcije, nazivamo očištem O. Projiciramo li očište ortogonalno na ravninu slike dobivamo položaj glavne točke Oc koja će nam biti iznimno važna pri konstrukciji perspektivnih slika objekata. Ta se točka nalazi na pravcu h koji predstavlja horizont (obzor/ nedoglednica) i on je uvijek u razini očiju promatrača. Njega dobivamo kao presječnicu ravnine slike i ravnine položene točkom O paralelno s horizontalnom ravninom.

Na horizontu se nalaze i distancijske točke D1 i D2 za koje vrijedi | OOc |=| Oc D1|=|Oc D2| = d. Udaljenost distancijskih točaka promjer je distancijske kružnice k (Oc , r = | OOc |) ,koja je ujedno i baza optičkog/distancijskog stožca čije su izvodnice duljine | OD1|=| OD2|. Osnovica o presječnica je horizontalne ravnine u kojoj se nalazi objekt i ravnine slike.

 

Primjer 1. Promotri fotografiju tračnica i odgovori na sljedeća pitanja:

  1. Kakve su perspektivne slike pravaca koji su okomiti na ravninu sliku? Gdje se nalazi točka u kojoj se sijeku slike tih pravaca?
  2. Kakve su perspektivne slike pravaca koji su paralelni s ravninom slike?
  3. Kakve su perspektivne slike vertikalnih pravaca?

105a

Riješenje:

106a

  1. Perspektivne slike pravaca okomitih na ravninu slike (tračnice) sijeku se u jednoj točki i ta se točka nalazi na horizontu.
  2. Pravci paralelni s ravninom slike (pragovi) ostaju pralelni s njom, ali što su udaljenjiji od platna to su kraće duljine.
  3. Vertikalni pravci ostaju vertikalni, a njihova se duljina smanjuje s udaljenošću.

Te situacije možemo promotriti i na predlošku kocke:

107

Slike svih međusobno usporednih pravaca, a koji nisu okomiti na ravninu slike, imaju isti nedogled N na horizontu. Posebno, ako su pravci okomiti na ravninu slike njihove se perspektivne slike sijeku u glavnoj točki OC.

108

Dužine paralelne s ravninom slike ostaju paralelne s njom, a duljina im se smanjuje s udaljenošću. Slično, vertikalne dužine također ostaju vertikalno što je prikazano na perspektivnoj slici prizme.

Zadatak 1. Nacrtajte nedoglede i horizont na sljedećim slikama:

109

Zadatak 2. Pronađi netočnosti na sljedećoj slici. Koji je od triju automobila najveći?

110

Pravila perspektive

Pravilo 1

Perspektivna slika pravca je pravac.

Pravilo 2

Perspektivna slika vertikalnih pravaca jesu vertikalni pravci.

111

Pravilo 3

Perspektivna slika horizontalnoga pravca usporednog s osnovicom slike jest pravac usporedan s osnovicom.

112

Pravilo 4

Sve dužine ravnine koja je usporedna s osnovicom slike, smanjuju se proporcionalno s udaljenošću i ostaju međusobno u istom omjeru kao i originalne dužine.

113

Pravilo 5

Slike svih horizontala okomitih na ravninu slike sijeku se u glavnoj točki

114

Pravilo 6

Slike svih horizontala koje s ravninom slike zatvaraju kut veličine , sijeku se u odgovarajućim distancijskim točkama.

(Lik ABCD je kvadrat i njegove dijagonale sa osnovicom zatvaraju kut od 45°. Zato su nedogledi dijagonala distancijske točke.)

1144

Kako bismo bolje razumjeli šesto pravilo promotrimo sljedeću sliku. Prevalimo li horizontalu u kojoj se nalazi kvadrat ABCD preko osnovice o dobivamo pravu veličinu tog kvadrata. Isto uradimo i s horizontalnom ravninom koja sadrži pravac horizonta. Zbog činjenice da je osni presjek optičkog/vidnog stošca jednakokračni pravokutni trokut, dijagonala kvadrata ABCD usporedna je s dužinom OD2. Zato su nedogledi dijagonala kvadrata distancijske točke.

115

Primjenu navedenih pravila ilustrirat ćemo rješavanjem nekoliko temeljnih problema perspektive. Sve zadatke rješavat ćemo na već pripremljenom predlošku u Sketchpadu. U njemu su istaknuta dva važna pravca: pravac horizont h i osnovica o. Na horizontu je označena glavna točka OC te distancijske točke . Položaj distancijskih točaka, odnosno udaljenost slikara od platna, možemo mijenjati pomoću parametra. Također, možemo mijenjati i udaljenost osnovice i horizonta, odnosno visinu slikara.

Predložak za crtanje:

116

Primjer 2. Odredite pravu veličinu dužine u horizontalnoj ravnini čija je perspektivna slika dužina AcBc usporedna s osnovicom.

117

Rješenje (1. način):

Konstruiramo pravce OcAc i OcBc. Točke A i B presjek su pravaca OcAc i OcBc i osnovice o. Prava veličina dužine nalazi se na osnovici o.

:

118

Rješenje (2. način):

Odaberemo bilo koju točku An na horizontu h i konstruiramo pravce AnAc i AnBc. Točke A1 i B1 presjek su tih pravaca s osnovicom o.

Uočimo da su duljine dužina jednake, tj|A_1 B_1 |=|AB|

119

Prikaz promatrane situacije na predlošku kocke (u prostoru):

120

Uočimo! Promjena položaja nedogleda na horizontu ne utječe na duljinu dužine AB jer se paralelnim projiciranjem čuvaju udaljenosti.

Primjer 3. Odredite pravu veličinu dužine AB koja je okomita na horizontalnu ravninu i zadana perspektivnom slikom AcBc.

121

Rješenje (1. način):

Konstruiramo pravce OcAc i OcBc . Točka A je presjek pravca OcAc i osnovice o.

screenshot-at-oct-07-10-34-45

Konstruiramo okomicu m na osnovicu o u točki A. Točka B je presjek pravca OcBc i okomice m.

200

Rješenje (2. način):

Odaberemo bilo koju točku na horizontu i konstruiramo pravce EnAc i EnBc . Točka je presjek osnovice o i pravca EnAc.

201

Konstruiramo okomicu n točkom A2 na osnovicu o. Točka B2 presjek je pravca EBc i okomice En. Pomicanjem točke po pravcu h duljina dužine A2B2 se ne mijenja.

202

Problem iz zadatka prikazan je na predlošku kocke (u prostoru):

203

Uočimo! Duljina dužine smanjuje se proporcionalno s udaljenošću. Na desnoj slici vidimo da je OC okomita projekcija točke O na ravninu slike.

Zadatak 3. Nacrtajte perspektivnu sliku sobe prema zadanom predlošku (soba je oblika kocke, a pod je podijeljen na 16 sukladnih kvadrata).

204